セガ、150ページ超の社内向け数学資料を無償公開 「3DCGの技術的基礎に」
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どうでも良いことですが，航空機の姿勢角はヨー角ψ，ピッチ角Θ，ロール角Φのオイラー角を用いて表現します．そのほうが直感的に分かりやすいからです．しかしながら，ピッチ角Θ=±90度の姿勢，つまり，機首を垂直上向きあるいは下向きにしている姿勢は特異点となり，ヨー角ψとロール角φを分けること（一通りに決めること）ができなくなります．つまりオイラー角表現は姿勢角ψ，Θ，Φを一組与えると姿勢は一つに決まりますが，逆に一つの姿勢を与えると，姿勢角ψ，Θ，Φは一組に決まるとは限りません（特異点では決まらない）．また，姿勢角の時間微分である３つの角速度，ヨー角速度（ヨーイング）R，ピッチ角速度（ピッチング）Q，ロール角速度（ローリング）Pを積分して姿勢角ψ，Θ，Φを求めようとすると，特異点で発散します．
これがオイラー角による姿勢角表現の限界です．それでも航空機の姿勢をオイラー角で表すのは直感的に分かりやすいからで，特異点を気にする必要があるのが，姿勢変化が大きい戦闘機くらいで，旅客機では関係ないからです．
一方，姿勢が３軸周りで回転する宇宙機では特異点の問題を避けることができません．テールシッターのような特殊な航空機も特異点が問題になります．そこで，クオータニオンを使った姿勢表現を用います．特異点の問題がないからです．クオータニオンは四元数と呼ばれ，いまある姿勢が基準となる姿勢からある回転軸周りにある回転角回して得られるとき，その回転軸の３次元ベクトル成分とその軸周りの回転角の４成分で表されます（正確には少し違う）．
ドローンの飛行制御装置や飛行記録装置はたいていクオータニオンで計算されています．機体の座標（緯度・経度）と姿勢角をクオータニオンで表現し，加速度，ジャイロセンサデータを拡張カルマンフィルタで融合し，リアルタイムに位置，速度，姿勢角，角速度を推定するアルゴリズムと装置を発明して特許を取得し，利用いただいている企業もあります．
頑張って勉強しましょう．どうでも良いことでしょうが．三角関数は2piで周期的なので、たとえば0と2piでの値が同じなのですが、これは最適化ではあまり嬉しくないんですねぇ (いい感じで滑り台降りてたのに、壁にあったっちゃってもう向こうに行けない感じ?) なので複合材料の材料方向場設計などで必要な、大量の角度変数の最適化には向いてないんですねぇ 2次元では無理すれば何とかなるのですが、3次元では (たとえばオイラー角のsingularityにhitしなくても) 上手く収束しません なので最近は、角度自体を使わずに、結局材料テンソルに掛ける事になる、回転テンソル (6×6)で表現するようにしてますよ この記事のquaternionでいう、四次元座標値を設計変数にするイメージですかねぇ Quaternion座標が単位円上にある必要があるように (それでDOF=3になります)、最適化中にテンソルである事を保つために、3つ拘束を足さなければならないのですが、ソコ上手いことやると、角度よりずっと計算が安定しますよ (なんとなく雰囲気伝わるかもですねぇ、「テンソル」を「行列」に置き換えると)
コレ、ゲーム系のハナシでも良いかもですよ、大量の弾性体の動シミュレーション する時などには(どんな時?) CGの数学 (≈ CADの数学)ってCAEと結構共通点あるので、もう似たのがあるのかもですねぇ
例えば、自由曲面モデルの定番であるNURBSは (必ず書いてあると思いますねぇ、記事の資料のどっかにも) 有限要素法の要素関数とそっくり (設計要件はほぼは同じ) なのに、随分長い間(今でも)、NURBSパッチつなぎ合わせて書いた形状を(パッチ無視して)メッシュ分割して、それに要素関数をもう1回あて直して (=要素を定義して) 解析、みたいなｵﾓｼﾛｲ事が行われてますねぇ それぞれのソフトウェアが複雑化して、現実的にもう仕方がない状態なのですが、このムダに気づいた方々が形状モデルの基底関数をそのまま有限要素に使う (というか要素関数で形状を表現する)、という方法 (isogeometric analysis) を提唱してますよ 間にメッシュ切りがないので、形状最適化の高速化に絶大な威力がありますが、有力な商用ソフト (geometric kernel) は出てきてないようですねぇ150ページ、すごい分量ですね。
自分は15年ほどまえは3DCGの研究もしていたのですが(君は何が専門だね、という呆れのお言葉をよくいただきます)、数理的に難しい概念がたくさん出てきて、結構苦しかったのを思い出します。
「サインコサインタンジェント、虚数i…いつ使うんだと思ったあなた。実は数学は、ゲーム業界を根から支える重要な役割を担っているんです。」
とありますが、これはゲームに限らず、例えば携帯電話やGPS、テレビ・ラジオなどの電波を使った通信でも使います。
